Introdução às Funções

Olá galera! Depois de quase uma semana sem novidades, venho começar um assunto que é, pelo menos pra muitos, o pior da Matemática: Funções. E, se não for o bicho de sete cabeças da matéria, pelo menos é a base da álgebra. Mas, o que são as funções?

Uma função é uma relação entre conjuntos. Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B toda relação onde um elemento x de A está relacionado a apenas um elemento y de B.

Representamos uma função de determinado valor x por f(x)=y, onde, como já foi dito, x é um elemento de A e y é um elemento de B.

Em toda função f : A -> B, temos:

Domínio - D(f) - = Conjunto de saída, ou conjunto de x.
Imagem - Im(f) - = Conjunto de elementos ligados por x.
Contra-domínio = Todo o conjunto B.

OBS: Im(f) c B
OBS²: Todo x precisa de um correspondente y, mas nem todo y precisa estar ligado a um x.

Tipologia das funções

Uma função pode ser sobrejetora, injetora e bijetora.

Sobrejetora: Uma função é sobrejetora quando a imagem é igual ao contra-domínio, ou seja, quando todos os elementos de B tem um correspondente em A.

Im(f)=B

Injetora: Uma função é injetora quando cada x de A é ligado a um y de B diferente.

x1 ->y1 / x2 -> y2

OBS: Exemplo de uma função não-bijetora: f(x)=x².
Se x for 2, temos que f(2) = 2² = 4.
Se x for -2, temos que f(-2) = (-2)² = 4.
Vejam que x1 e x2 produziram o mesmo y.

Bijetora: Uma função é bijetora quando é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora.

Par: Uma função é par quando dois valores opostos admitem a mesma imagem. Formalmente, dizemos que:

f(x) = f(-x)

Nas funções pares, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical, como na imagem a seguir:

Ímpar: Uma função é ímpar quando a imagem do oposto de x também é oposta, ou seja:

f(x) = -f(-x)

Nessas funções, o gráfico é simétrico em relação à origem, assim:
Por hoje é só, pessoal. Espero que aproveitem o conteúdo, que está bem enxuto e mastigado. Na próxima, creio eu, que já postarei sobre função afim, se eu não lembrar de nada que esteja faltando aqui. Pra quem me perguntou, irei colocar o gabarito das questões anteriores, mas quero comentá-las, então quero colocar também algumas questões de funções, e assim coloco todo o gabarito. É mais rápido, mas se quiserem, coloco só o gabarito já na próxima postagem. Me avisem nos comentários. Abraços e bons estudos.

Justificativa

Olá pessoal. Venho postar hoje agradecendo o apoio de vocês nas visitas. Só queria pedir que comentassem nas postagens, pois preciso saber se está bom ou se preciso melhorar. Essa semana não postei, pois o próximo assunto que irei falar é sobre funções, e esse é um assunto chato de entender, precisa ser BEM explicado. Acho que ainda essa semana irei estar colocando, mas peço, por favor, comentem. Muito obrigado e bons estudos!

Teoria dos Conjuntos - Parte Três (Propriedades e Conjunto das partes)

Olá! Mais uma vez estamos aqui, falando de Teoria dos Conjuntos. Esse é o nosso último post sobre este assuntos, e aí entramos em funções. Falta-nos apenas falar sobre as propriedades dos conjuntos e de conjunto das partes. As propriedades são fáceis de aprender, até porque são até lógicas.

Propriedade reflexiva: A está sempre contido em A. Isso porque, quando vimos relação de pertinência, dissemos que para um conjunto estar contido em outro, todos os seus elementos têm de pertencer também ao outro conjunto, e, obviamente, todo elemento de A está contido nele mesmo.

Propriedade anti-simétrica: Se A está contido em B e B está contido em A, então A = B. Não há muito o que explicar, se todos os elementos de A estão contidos em B, e vice-versa, então, logicamente, A tem que ser igual a B.

Propriedade transitiva: A c B e B c C, logo, A c C. Por todo o conteúdo já citado, não há necessidade de explicação dessa propriedade.

Conjunto das Partes (P(A))

O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja:

P(A) = {X / X c A}

Exemplo: A = {a,b}, P(A) = { {}, {a}, {b}, {a,b}} >> Vale salientar que todo subconjunto é identificado por colchetes. Se não houver colchete, não é subconjunto, é elemento.
Exemplo 2: A= {2,3,4}, P(A) = { {}, {2}, {3}, {4}, {2,3}, {3,4}, {2,4}, {2,3,4} }
Mas, como sabemos quantos subconjuntos há em um conjunto? Basta elevar o número 2 ao número de elementos de A, ou seja:

n(P(A)) = 2^n(A)

Exercícios para treinar em casa:

Se um conjunto A tem 1024 subconjuntos, então o cardinal de A, ou número de elementos de A, é:

a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
e)10

UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5

USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:

a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:

a)7
b)8
c)9
d)10
e)11

Bem, acho que, com isso, terminamos Teoria dos Conjuntos. No próximo post, começarei já a falar de Funções. Espero que estejam gostando, mas preciso que me digam se está bom. Abraços e bons estudos. Fui!

Teoria dos Conjuntos - Parte Dois (Operações com Conjuntos)

Olá pessoal. Retomando o nosso post anterior, agora irei falar sobre operações com conjuntos, por que a definição de conjunto e as relações entre si não são muito cobradas no vestibular. O que conta mesmo é saber as operações. Então, vamos a elas.
Podemos comentar sobre três principais operações com os conjuntos numéricos: União, intersecção e diferença.

União

Supondo dois conjuntos A e B, onde A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}, dizemos que a união entre A e B são todos os elementos que estão em A ou estão em B, ou seja, o conjunto formado pela união entre A e B é {0,1,2,3,4,5,6}. Representamos a união com o símbolo abaixo:Note que os elementos repetidos, {2,3}, no conjunto união, são representados como apenas um valor.

Intersecção

Supondo dois conjuntos F e G, onde F = {a,b,c,d} e G = {b,c,d,e,f}, dizemos que a intersecção entre A e B são apenas os elementos que estão em F e em G, ou seja, o conjunto formado pela intersecção entre F e G é {b,c,d}. Representamos a intersecção com o símbolo abaixo:

Diferença

Supondo agora os conjuntos G = {b,c,d,e,f} e F = {a,b,c,d}, dizemos que a diferença entre A e B são os elementos que estão apenas em G, nesse caso, {e,f}.

OBS: Nessa operação G-F é diferente de F-G, pois F-G, nesse caso, é {a}.
OBS²: Se A-B = A, então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não há nenhum elemento em comum entre eles.

Quando se fala de quantidade de elementos de uma operação, se põe a letra n antes da representação da tal operação.

Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn é uma forma de representação de conjuntos. O Diagrama é representado abaixo:Note que, nas áreas que são comuns a dois ou mais conjuntos são encontradas as intersecções deles.

Abaixo, algumas questões para treinar:

No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?


(ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:

a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600


(UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:

a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%

Espero que esta postagem auxilie vocês nos estudos ao vestibular. Na próxima, falarei sobre propriedades de conjuntos e de conjunto das partes. Até lá! Abraços e bons estudos.

Teoria dos Conjuntos - Parte Um

Nosso primeiro assunto em Matemática, com certeza, é Teoria dos Conjuntos. Vale lembrar que não abordarei assuntos de Matemática Básica, pelo menos de início, pois darei prioridade à algebra, parte da Matemática que mais assombra os vestibulandos.
Voltando, para entrarmos em Teoria dos Conjuntos, precisamos saber uma coisa: o que é um conjunto?
A resposta imediata é uma coleção de coisas, aqui chamadas de ELEMENTOS. Apenas por convenção essa seria a resposta, e a condição essencial do conjunto é a pertinencia, ou seja, o fato de pertencer. Por exemplo, se eu digo que 3 é um elemento de um conjunto A, então 3 pertence a A, ou 3 e A, onde esse e é representado pelo símbolo abaixo:
E como chamamos um conjunto sem elementos? Pela convenção, isso não existiria, mas na matemática, chamamos esse conjunto de conjunto vazio, representado assim: { }, ou pelo símbolo abaixo:Resumindo: Conjunto, por definição, é uma coleção de elementos. Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto, e quando um conjunto não contém elementos, e isso é possível na Matemática, o chamamos de conjunto vazio.

Relação de Continência

A relação de continência é bastante parecida com a de pertinência. A diferença se dá no fato de se tratar de uma relação conjunto - conjunto, e não elemento - conjunto. Isto quer dizer que, quando os elementos de um conjunto A fazem, todos eles, parte de um outro conjunto B, dizemos que A está contido em B, ou A c B. A continência é representada pelo símbolo abaixo:

OBS: Por que o conjunto B tem que ter mais elementos do que o conjunto A para A estar contido em B? Simples, por que se B tiver o mesmo número de elementos de A, B será igual a A, ou B=A. Vale salientar também que o conjunto vazio é sempre subconjunto de qualquer outro conjunto.

No próximo post, falarei um pouco sobre operações entre conjuntos e colocarei alguns links de questões para treinarem em casa. Lembrando que isso aqui é uma ajuda, vou procurar sempre estar melhorando os posts, e sempre que precisarem, podem dizer. Críticas serão sempre bem vindas. Bons estudos.

O que é o Matemáximo?

Salve, galera! Bem, meu nome é Yago Henrique e sou apenas um terceranista, mas pretendo prestar vestibular para o curso de Licenciatura em Matemática. Com o intuito de ajudar as pessoas a se dar bem no vestibular, assim como eu pretendo me dar bem, estou criando este blog, o Matemáximo, para tirar dúvidas, auxiliar em geral. Gradativamente, irei colocar assuntos que são contemplados no vestibular, pouco a pouco, e aí vocês vão me dizendo o que acham. Bem, é isso, até uma próxima. Abração!